ESTADÍSTICAS: 2012

Definición: f. rama de las matemáticas que aborda el tema de la recolección, presentación, análisis e interpretación de grupos de datos numéricos. Abarca muchos terrenos (le concierne e la forma en que se obtienen los datos, como se manipulan y como se ponen en práctica).

INTRODUCCIÓN

Es la ciencia que trata sobre la toma, organización, recopilación, presentación y análisis de datos para reducir conclusiones sobre de ellos y tomar decisiones que estén de acuerdo con los análisis efectuados.

En la estadística se acostumbra estudiar una parte del total que recibe el nombre de muestra, mientras la totalidad del conjunto estudiado se denomina población. Cuando se obtiene una serie de datos sobre las características de un conjunto de personas o cosas, tales como edades, pesos, y estatutarias de los habitantes de una determinada ciudad o en el numero de relojes defectuosos o no defectuosos producidos por una fabrica en un tiempo determinado, resulta poco menos que imposible estudiar todas las personas o cosas.

FRECUENCIAS

Se llama frecuencia a la cantidad de veces que se repite un determinado valor de la variable.

Se suelen representar con histogramas y con diagramas de paretto.

Consiste en ordenar los datos en una tabla donde se anota el número de veces que se repite un dato y posteriormente se calcula la frecuencia relativa, acumulada, medidas de tendencia central y medidas de dispersión.

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.

TIPOS DE FRECUENCIA.

Una de los primeros pasos que se realizan en cualquier estudio estadístico es la tabulación de resultados, es decir, recoger la información de la muestra resumida en una tabla en la que a cada valor de la variable se le asocian determinados números que representan el número de veces que ha aparecido, su proporción con respecto a otros valores de la variable, etc. Estos números se denominan frecuencias a sí tenemos los siguientes tipos de frecuencia:

· Frecuencia absoluta

· Frecuencia relativa

· Porcentaje

· Frecuencia absoluta acumulada

· Frecuencia relativa acumulada

· Porcentaje acumulado

FRECUENCIA ABSOLUTA

Frecuencia absoluta (ni) de una variable estadística Xi, es el número de veces que este valor aparece en el estudio. A mayor tamaño de la muestra, aumentará el tamaño de la frecuencia absoluta; es decir, la suma total de todas las frecuencias absolutas debe dar el total de la muestra estudiada (N).

La frecuencia absoluta de una variable estadística es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable, la representaremos por n_i

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ(sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

Ejemplo:

Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor y en la segunda anotamos la frecuencia absoluta.

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA.

(N_i), es el número de veces n_i en la muestra N con un valor

igual o menor al de la variable. La última frecuencia absoluta acumulada deberá ser igual a N.

Ejemplo:

Dada la tabla: Xi es el valor de la variable, ni es la frecuencia

absoluta correspondiente y Ni es la frecuencia absoluta acumulada.

Xi-------ni------Ni

1--------5-------5

2--------7-------5+7=12

3--------6-------12+6=18

4--------2-------18+2=20

5--------1-------20+1=21

Las Ni son las frecuencias absolutas acumuladas y se obtienen

N1=n1

N2=N1+n2

N3=N2+n3

O sea, la primera es igual a la frecuencia absoluta

correspondiente al primer valor y las siguientes se obtienen

sumando las anteriores a la actual.

FRECUENCIA RELATIVA.

La frecuencia absoluta, es una medida que está influida por el tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para poder comparar. Para esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. La denotaremos por f_i

Donde N = Tamaño de la muestra

EJEMPLO:

Se lanza una moneda 100 veces el águila salió 45 veces, Calcular la Frecuencia Relativa de dicho evento.

Fa= 45/100 = 0.45

PORCENTAJE:

Es la frecuencia relativa multiplicada por 100 y se da en %
y punto medio es cuando calculas intervalos de frecuencia. se calcula como el promedia entre el intervalo de frecuencia por lo que esta medida resulta de multiplicar la frecuencia relativa por 100. La denotaremos por p_i.

Ejemplo:

Se lanza una moneda 100 veces el águila salió 45 veces, Calcular la Frecuencia de porcentaje de dicho evento.

45x100 = 450

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA:

(F_i), es el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el número total de datos, N. Es decir,

Con la frecuencia relativa acumulada por 100 se obtiene el porcentaje acumulado (P_i)), que al igual que F_i deberá de resultar al final el 100% de N.

La representación gráfica de la distribución de frecuencias acumuladas se denomina ojiva. En ella el eje de las abscisas corresponde a los límites de clase y el de las ordenadas a los porcentajes acumulados.

PORCENTAJE ACUMULADO.

Análogamente se define el Porcentaje Acumulado y lo vamos a denotar por P_i como la frecuencia relativa acumulada por 100.

P_i, de n valor x_i es la suma de las frecuencias porcentuales que se corresponden a los valores anteriores a X_i y a la suya propia.

EJERCICIO

Se toma una muestra de 75 alumnos de un curso de inglés para saber cuáles son sus edades y se encuentra que:

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE CLASES.

Es aquella distribución en la que la disposición tabular de los datos estadisticos se encuentra ordenada en clases y con la frecuencia de cada clase; es decir, los datos originales de varios valores adyacentes del conjuntos se combinan para formar un intervalo de clase.No existen normas establecidas para determinar cuando es apropiado utilizar datos agrupados o datos no agrupados; sin embargo se sugiere que cuando el número total de datos (N) es igual o superior a 50 y ademas el rango o recorrido de la seria de datos es mayor de 20, entonces se utilizara la distribución de frecuencias para datos agrupados, también se utilizara este tipo de distribución de frecuencia para datos agrupados, también se utilizara este tipo de distribución cuando se requiera elaborar gráficos lineales como el histograma, poligono de frecuencias o la ojiva.

La distribucion de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables forman un numero grande de valores o la variable es continua(se le puede asociar con numeros racionales o irracionales).

La construcción de una tabla de distribución de frecuencias requiere en primer lugar la selección de los intervalos de clase.

Aun cuando la selección de los intervalos de clase es unarte y depende de los datos involucrados, los siguientes pasos resultan útiles.

Paso 1

Ordenar los datos de mayor a menos para su clasificación

Paso 2

Calcular el rango (R) de los datos,es decir, la longitud del intervalo (l) que los contiene.

R= Xmáx-Xmin l=[Xmin.Xmáx]

R=rango

Xmáx= Dato de mayor valor numérico

Xmin= Dato de menor valor numérico

I= Intervalo numérico

Paso 3

Definir el número de clase (Nc) , el cual no deberá ser tan pequeño (menos de 6) o tan grande (más de 20) que la verdadera naturaleza de la distribución sea imposible de visualizar.

INTERVALOS DE CLASE.

Los intervalos de clase nos permiten trazar un histograma con datos agrupados, es decir; cuando los datos son muchos es necesario emplear procedimientos que reduzcan el trabajo integrando los datos en grupos.

Estos datos reciben el nombre de intervalos de clase. En ellos consideramos un límite inferior, el punto medio, y el límite superior: el dato de menor valor en una clase, el de mayor y el promedio de ellos.

La selección de intervalos de clase exige que todos ellos tengan la misma amplitud en la distribución. Para obtener lo anterior debemos considerar el concepto de rango.

El rango en una distribución de frecuencias es igual a la diferencia entre el dato mayor menos el menor más 1.

Ejemplo:

Supongamos que en una distribución de calificaciones la mayor es 9 y la menor es 4; el rango seria:

9-4=5 ; 5 + 1 = 6; rango = 6

Los intervalos de clase deben tener la misma amplitud. Para lograrlo debemos dividir el rango entre el número de clases que consideramos el más adecuado.

Supongamos que escogemos tres clases, entonces:

rango

------------------------ = 6/3 = 2

Número de clases

Este número 2 indica la amplitud de cada intervalo. Debemos empezar con un múltiplo de él, como límite inferior y proceder en la misma manera en cada intervalo:

múltiplos del intervalo.

8-9 6-7 6-5

Número de clases.

MARCA DE CLASE.

El punto medio de un intervalo de clase recibe el nombre de marca de clase y se obtiene dividiendo por 2, la suma de los límites inferior y superior del intervalo de clase.

En general, para obtener distribuciones de frecuencia se acostumbra seguir los siguientes pasos:

a) Determinar el mayor y el menor de los datos registrados, para encontrar el rango, es decir, la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.

b) Dividir el rango en un número adecuado de intervalos de clase del mismo tamaño, que generalmente oscila entre 5 y 15.

c) Determina las frecuencias de clase, es decir, el número de datos que corresponden a cada intervalo de clase.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

La medidas de tendencia central pueden describirse rígidamente como "promedios" en el sentido de que son indicativas del centro mitad o lo más común de un conjunto de datos, la medida de tendencia central más popular es lo que comúnmente se llama "promedio".

MEDIA.

Es el conjunto de N números

x1,x2,x3........ xn se representa por muestra X.

y se define como:

Donde el símbolo Xi representa cualquiera de los N valores x1,x2,x3.............. xn puede tomar la variable de x.La letra i en xi, se denomina su índice y puede representar cualquiera de los numéros 1,2,3...........n.

Por su parte en simbolo ∑ xi se utiliza para indicar la suma de i=1 n

todas las xi, desde i=1 hasta i=n es decir ∑

i=1

Ejemplo:

Hallar la media aritmética de 6,4,3,7 y 8

Solución: $\overline{X}$ = 6+4+3+7+8= 28 = 5.6

-------------------------------------- -------------

5 5

MEDIANA.

La mediana de una serie de datos de magnitud es el valor medio si el número de datos es impar o bien la media aritmética de los dos valores medios sí el número de datos es par.

Ejemplo: Hallar la mediana de los números

2,3,3,4,5.7,7,7,9

La solución seria ; Como los números están ordenados en orden creciente de magnitud y hay un número impar de números, la mediana sera el valor medio osea 5

Hallar la mediana de los números 2,2,3,4,6,6,6,8

Solución: Como los números están ordenados en orden creciente de magnitud y hay numero par de números la mediana sera la media aritmética de los dos valores medios osea (4+6)

____ = 5

MODA.

La moda de una serie de números es el valor que se representa con mayor frecuencia.

La moda puede no ser única e incluso no existir.

Ejemplo: Hallar la moda de los números 2,2,3,4,5,5,5,5,6,6,7

Solución: el número que más veces se repite es 5. Por consigiente 5 es la moda.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN:

Dan idea de la separación de datos númericos alrededor de un valor medio.

Las medidas de dispersión más utilizadas:

Son el rango o recorrido, la desviación media, la varianza y la desviación típica.

RANGO O RECORRIDO.

Es la diferencia entre dos valores entre los dos valores extremos máximo y mínimo.

Evidentemente, la dispersión de los datos será tanto mayor, cuando mayor sea el recorrido.

El rango recorrido no es una buena medida de dispersión, puesto que basta que un dato se aleje mucho de la media para que el rango recorrido resulte muy afectado, ya que únicamente depende de dos valores, sin que influyan para nada los datos distantes

Ejemplo: Hallar el rango de la siguiente serie de números:

4,5,7,9,10,12,15

Solución: el rango será la diferencia entre los valores extremos. Es decir,

15-4 = 11.

DESVIACIÓN MEDIA:

Denominada también como desviación promedio, mide el promedio de las distancias de una muestra o población respecto a su media aritmética y la podemos definir como "El promedio de todas las distancias absolutas,medidas con respecto a la media aritmética y se calcula con la siguiente fórmula:

Donde: DM: Es la desviación media.

xi es el valor de cada observación

X es la media aritmética

n es el número de observaciones

l l es el valor absoluto

VARIANZA.

La varianza es el promedio de las dispersiones cuádraticas con respecto a la media aritmética, la varianza se determina de la siguiente manera:

Si se trata de una muestra.

Si n es grande los resultados son similares a los de la varianza poblacional, pero si n es pequeña conviene utilizar entre n-1 para obtener mejor acercamiento a los datos de la varianza muestral:

Si se trata de una población:

Donde: μ es la media aritmética es la media de poblacion

N es el tamaño de la población

n es el tamaño de la muestra

xi es el valor de la observación

X es igual a la media aritmética de la muestra.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR.

Es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Para población.

Para muestra.

GRÁFICAS GRÁFICA DE BARRA:

Consiste en levantar sobre cada valor de la variable una barra cuya longitud coincida con su frecuencia.

GRÁFICA DE POLÍGONO DE FRECUENCIA:

Se señala en los extremos de los segmentos cuya altura coinciden con la frecuencia y se unen mediante una línea quebrada.

DIAGRAMA DE FRECUENCIA ACUMULADA

Se utilizan cuando se interesa conocer el número de individuos que hay antes de un cierto valor de la variable.

DIAGRAMA DE FRECUENCIAS RELATIVAS

Resulta imprescindibles cuando interesa comparar varias poblaciones pero con distinto número de individuos.

DIAGRAMA DE SECTORES

Consiste en repartir los 360° del círculo proporcionalmente a las frecuencias a la oblación estudiadas.

GRÁFICAS EN ESPIRAL

Se emplea para representar datos cronológicos que registra una fuerte tendencia a la expansión.

GRÁFICA DE CARTOGRAMAS

Consiste en hacer resaltar con distintos colores o rayas diversas zonas de un mapa según un motivo determinado.

GRÁFICA PICTOGRAMA:

Se utilizan fundamentalmente para representar índices de producción empleando un símbolo del artículo que se produce.

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS:

Se emplea cuando el número de valores que puede tomar la variable estadística es muy elevado.

HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS

Pueden ser representados de manera simultánea, esto se hace a partir del histograma, en la base superior de los rectángulos se colocará en el punto correspondiente a la marca de clase para formar en el polígono de frecuencias.

GRÁFICA DE OJIVA:

En ella se permite ver cuántas observaciones se encuentran encima o de bajo de ciertos valores, en lugar de solo exhibir los números asignados a cada intervalo.

GLOSARIO:

Estadística: rama de la matemática que establece procesos sistematices y con base en un grupo de datos permite organizarlos, representarlos y organizarlos para obtener información.

Frecuencia: Es cuando un dato se repite en un grupo determinado

Gráfica de barras: Representación mediante dos ejes verticales en los que se dibuja las secuencias para cada dato.

Histograma: Representación gráfica con barras; éstas se presenta sin separación.

Polígono de frecuencias: Al unir los puntos medios superiores de las barras, se obtiene una poligonal que recibe este nombre.

Gráfica circular: Representación de un círculo. A cada grupo de datos le corresponde un número de grados de un sector circular. También se puede expresar como sectores circulares que representa a tanto por ciento.

Población: Conjunto de datos con los que se realiza una investigación parte de una población.

Muestra: Parte de una población.

Frecuencia absoluta: Número de veces que un dato se presenta una población o en una muestra de ella.

Frecuencia relativa: Consiente obtenido al dividir la frecuencia absoluta entre el número total de datos.

Intervalos: Clasificación de los datos en grupos determinados a los que se llama intervalos de clase. En un intervalo de clases se deben considerar los puntos límite inferior, límite superior y el punto medio.

Rango: Los intervalos de clase deben tener la misma amplitud a la que llamamos rango. La amplitud se logra al dividir el rango entre el número de clases.

BIBLIOGRAFÍAS.

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AUTORES:

JOHN E. FREUND.
ARIZONA STATE UNIVERSITY.
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Edición en español editor supervisor de traducción y corrección de estilo.

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Medidas de tendencia central: media 3.2

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Medidas de dispersión: rango 3.6

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La biblia de las matemáticas (estadística y probabilidad) equipo editorial.
AUTORES:

CARMEN CHÁVEZ REYEZ.
ADRIANA LEÓN QUINTANAR.

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Introducción rango medidas de dispersión desviación media, varianza, desviación típica.

Matemáticas (estadística) guía de tareas y métodos de estudio.
AUTOR:

ANDRÉS LEÓN QUINTANAR.

Editorial letrarte, C.A edición 2004

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Que es la estadística, frecuencia absoluta, frecuencia relativa, intervalo de clases, medidas centrales o de posición.

Estadística y probabilidad autor LUIS MANUEL GARCIA URIBE.

TRILOGÍA.

Wealpole, M. probabilidad para ingeniería octava edición, México, prentice hall Hispanoamérica, 2007.